Diferencia entre revisiones de «Casos Constructivos y Estructurales»

De Casiopea
Línea 65: Línea 65:
B. Pino, F. Gainza, A. Kutscher, P. Minte, N. Labbe
B. Pino, F. Gainza, A. Kutscher, P. Minte, N. Labbe
===Grupo 3===  
===Grupo 3===  
D. Fuentes, C. Cabezas, A Oyarzun, P. Valdivia, [[Miriam Gálvez]]
#[[D. Fuentes, C. Cabezas, A Oyarzun, P. Valdivia, Miriam Gálvez]]


=LA CATENARIA=
=LA CATENARIA=

Revisión del 00:59 23 dic 2011



Asignatura(s)Casos Constructivos y Estructurales
Año2011
Tipo de CursoRamo Lectivo
TalleresARQ 3º, ARQ 4º
ProfesoresDavid Luza, Jorge Carvallo, Luis Della Valle
Profesor(es) Ayudante(s)Francisco Weber
Carreras RelacionadasArquitectura

Estudiantes

Lecciones

Tareas

Individuales

  1. Nicolas Abarca
  2. Carolina Almarza
  3. Tomas Araya
  4. Paul Baumann
  5. Valentina Bernales
  6. Jose Mari Borda
  7. Constanza Cabezas
  8. Marcos Carrasco
  9. Juan Pablo Carrillo
  10. Matias Correa
  11. Cristobal Cox
  12. Max Crichton
  13. Maria Jose Dominguez
  14. Daniela Fuentes
  15. Francisco Gainza
  16. Nicolas Gallo
  17. Miriam Gálvez
  18. Jhonathan Gomez
  19. Camila Gonzalez
  20. Marcos Gonzalez
  21. Hernan Hurtado
  22. Aaron Jimenez
  23. Allyson Kutscher
  24. Nicole Labbe
  25. Matias Lara
  26. Rodrigo Mendoza
  27. Paula Minte
  28. Valentina Miranda
  29. Elias Olivares
  30. Fabian Olivares
  31. Ana Oyarzun
  32. Belen Pino
  33. Soledad Prado
  34. Belen Reed
  35. Felipe Rojas
  36. Juan Jose Rojas
  37. Sebastian Rojas
  38. Estelle Roman
  39. Paulina Valdivia
  40. Nicolas Vallejos
  41. Regina Weber
  42. Paula Yañez

Grupales

Grupo 1

  1. R. Mendoza, N. Abarca, M. Correa, E. Olivares

Grupo 2

B. Pino, F. Gainza, A. Kutscher, P. Minte, N. Labbe

Grupo 3

  1. D. Fuentes, C. Cabezas, A Oyarzun, P. Valdivia, Miriam Gálvez

LA CATENARIA

Grupo 3

Introducción

Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme. La palabra deriva del latín catenarius (propio de la cadena). Por extensión, en matemáticas se denomina catenaria a la curva que adopta una cadena, cuerda o cable ideal perfectamente flexible, con masa distribuida uniformemente por unidad de longitud, suspendida por sus extremos y sometida a la acción de un campo gravitatorio uniforme.

Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron que la curva era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no lo era, pero no encontró la ecuación de la catenaria. La ecuación fue obtenida por Gottfried Leibniz, Christiaan Huygens y Johann Bernoulli en 1691, en respuesta al desafío planteado por Jakob Bernoulli. Huygens fue el primero en utilizar el término catenaria en una carta dirigida a Leibniz en 1690, y David Gregory escribió, ese mismo año, un tratado sobre la curva.

Desarrollo matemático

En general la ecuación de la catenaria se refiere a cadenas o cuerdas infinitamente flexibles e inextensibles. El requisito de flexibilidad infinita se refiere a que la rigidez flexional sea nula y el requisito de inextensibilidad se refiere a que la longitud de cada tramo de la misma no varíe a pesar de estar sometido a fuerzas. Obviamente en las cuerdas reales estos requisitos se cumplen sólo de forma aproximada. Para cuerdas de gran longitud, la elasticidad de la cuerda las aleja del comportamiento perfectamente inextensible. Si bien la catenaria de una cuerda inextensible es siempre una curva plana, para cables gruesos de pequeña longitud la rigidez flexional finita hace que su deformada no necesariamente esté contenida en un plano. 1

El desarrollo de la fórmula matemática de la curva catenaria es sus tres primeros términos de potencia es igual al de una parábola (y = a+ bx+ cx2) y solo a partir de aquí difiere con términos de potencia de x elevados a 4 o más, por ello, catenaria y parábola difieren poco en valores bajos de x, es decir cerca del “morro” de la curva. La diferencia fundamental es que al tangente de la curva, en la parábola tiende hacia un valor fijo, mientras que en la catenaria tienden hacia la posición vertical. Ello lleva a que a medida que crece la x sus curvas se cruzan y mientras la catenaria tiende a valores limitados de x, la parábola se abre indefinidamente hasta el infinito.

Parabola catenaria3.jpg

La catenaria tiene la característica de ser el lugar geométrico de los puntos donde las tensiones horizontales de un cable se compensan por lo que el cable no tiene tensiones laterales, el cable no se desplaza hacia los lados y a las fuerzas que padece se reparte entre una fuerza vertical (la de la atracción terrestre) y una tensión tangente al cable en cada punto que lo mantiene estirado. De igual forma, en un arco que adquiera la forma de una catenaria, la tensión que padece el arco en cada punto, se reparte entre una componente vertical que será lo que tenga que sustentar el propio arco y una componente de presión que se transmite por el propio arco hacia los cimientos sin que se creen esfuerzos horizontales, salvo en el extremo llegando ya a los cimientos. Esta propiedad, distintiva y única de este tipo de arcos, hace que no necesiten apoyo a los lados del arco para sustentarse y evitan que tiendan a abrirse.


Reseña histórica

En las capillas románicas eran necesarios gruesos muros a los lados de puertas y ventanas para mantener los arcos de medio punto sin que se agrietara. Tampoco los arquitectos medievales consiguieron encontrar la forma perfecta de transmitir los esfuerzos laterales y pese a que los arcos ojivales se aproximan más a la forma de la catenaria, aun necesitaron apoyar sus arcos en fuertes arbotantes exteriores que absorbían y trasladaban las tensiones horizontales hacia los cimientos. En el renacimiento tampoco supieron encontrar la solución. La cúpula de San Pedro, diseñada por Miguel Ángel, está rodeada en su base por una fuerte cadena de hierro a modo de cincha, porque una vez construida comenzó a agrietarse debido a estas fuerzas horizontales creadas por el peso de la cúpula. Hacia el modernismo del siglo XIX arquitectos como Gaudí recapacitan en que no necesariamente las líneas verticales absorben mejor las tensiones. Muchas de sus obras, desde la Sagrada Familia, a la casa Batlló, la Pedrera, o el parque Guell, enseñan en las fachadas o ocultan en sus sótanos o en sus azoteas, arcos de catenaria que desvían el peso de las cubiertas dejando amplias zonas abiertas.

Catenaria1.jpg
Estereofunicular de gaudi.jpg
Diseño de la Capilla de Guell, Antoni Gaudí
Ciudad de las artes y las ciencias, Calatrava

Hipótesis

La propuesta a presentar es una catenaria alterada en su forma curva por una carga que deforma su caída normal a tracción por una cadena donde se soporte un peso más que el de la suma de sus partes iniciales. Utilizamos como matriz una cadena, para dibujar una catenaria y luego a esta forma le aplicamos un peso en una de sus partes. Tenemos como intención demostrar que a pesar del peso aplicado, y la deformación que este produjo la catenaria debería seguir manteniendo la forma otorgada por la compresión de las piezas que la conforman.

Desarrollo

Se debe tener claridad del término “catenaria” (Catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos, sometida a un campo gravitatorio uniforme), en este caso hemos utilizado como referencia el trabajo de Gaudí para el desarrollo de la Sagrada familia (maqueta invertida), al disponer distintos pesos en varias cuerdas proporcionales a lo que debería soportar cada arco. Tomamos una cadena de sus extremos, por gravedad se forma una curva, la cual tenía de eje a eje una distancia de 19 cm aproximadamente, luego invertida en un eslabón se coloca un peso deformando así la catenaria, el desafío consta en que a pesar de esa deformación pudiese mantenerse en pie. Con arcilla armamos una catenaria, dividida en 18 piezas originalmente, luego con el material algo más sólido intentamos armar la estructura, siendo complejo por la cantidad de piezas que esta contenía, debido a la deformación producida por la carga del peso externo a la estructura, uno de sus largos queda casi vertical, y el otro curvo, apoyando todo el peso del largo curvo en el largo vertical cayéndose la estructura, ya que necesitaba más peso, para contrapesar. La forma de la catenaria resultante genera dos fuerzas en un mismo extremo, que termina por ser el lado que recibe mayor carga; la fuerza de gravedad por cada eslabón se suma a la fuerza que la misma catenaria ejerce intentando comprimir la totalidad de la curva, desarmándose la forma que pensamos seria la correcta para soportar la catenaria completa. Para solucionar lo antes mencionado descalzamos levemente el lado donde la catenaria ejerce una fuerza de compresión que continua un eje diagonal imaginario que no alcanza a afirmarse en los eslabones que se sostienen por si solos por la fuerza de gravedad y el centro de gravedad de cada uno de ellos. Comprendemos finalmente que la carga que se ejerce para comprimir cada eslabón debe seguir una continuidad que se va ensanchando a medida que se llega a su base con el fin de brindar el soporte necesario a la deformación que se le da a la catenaria y que carga más uno de sus lados que el otro. Por lo tanto para el caso que presentamos donde la carga se ejerce en uno de sus lados se debe ensanchar o desencajar los eslabones que se mantienen firmes por los centros de gravedad y así ubicar la curva (donde se encuentra la clave) en un eje diagonal que logre atravesar ínfimamente los eslabones soportantes.

Conclusión

No se cumple lo especulado con la catenaria de varias piezas, al ocurrir un desequilibrio en los pesos de esta, pero esto se debe a la proporción del ancho y largo de la misma, porque al quitar algunas piezas (del largo) esta si es capaz de quedar en pie, cumpliendo de este modo con la catenaria alterada.

Bibliografía

1.http://es.wikipedia.org/wiki/Catenaria 2.http://www.cienladrillos.com/2007/08/27-arco-catenario 3.http://www.gaudidesigner.com 4.http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada

Grupo 4

B. Reed, V. Bernales, S. Prado, R. Weber, E. Roman

Grupo 5

C. Cox, C. Almarza, C. Gonzalez, V. Miranda, P. Yañes

Grupo 6

J.J. Rojas, S. Rojas, P. Bahumann, M. Carrasco

Grupo 7

H. Hurtado, M. Lara, J. Borda, N. Gallo, F. Rojas

Grupo 8

N. Vallejos, A. Jimenez, F. Olivares, M. Gonzalez, T. Araya,