Taller de Fractales en la Naturaleza

De Casiopea



TítuloTaller Arboles Fractales
AsignaturaTaller de Titulación de Diseño
Del CursoTaller de Titulación 1
CarrerasDiseño, Diseño Gráfico, Diseño Industrial
Alumno(s)Jessica Villarroel, Consuelo Carreño, César Sánchez, Renee Rodo

Taller inscrito en:

Desarrollo Aconcagua FabLab 2019

Estudio de Fractales en la Naturaleza

¿Qué son los fractales?

Los fractales son entidades matemáticas que están por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común: son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria.

Un fractal es un objeto semi geométrico cuya estructura básica se repite a diferentes escalas. Pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, son irregulares y de detalle infinito. Sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque a distinta escala o con ligera deformación.

El término fue propuesto por el matemático //Benoît Mandelbrot// en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado.

Características

  1. Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.
  2. Posee detalle a cualquier escala de observación.
  3. Es auto-similar (exacta o estadísticamente): sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque a distinta escala o con ligera deformación. 2- dimensión: de Hausdorff-Besicovitch, topológica, fractal o euclidiana. 3- iteración: repetir n veces la misma figura. En este caso fórmulas, ecuaciones o patrón.

¿Existen fractales en la Naturaleza?

Podemos encontrar espontáneamente en la vida cotidiana: hay muchos objetos naturales que, debido a su estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo parezcan: nubes, montañas, costas, ríos, caracoles, flores, brócoli. En lo que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades infinitas. Los fractales suministran modelos que contribuyen a percibir el espacio y las propiedades geométricas de objetos y procesos naturales.

Para la realización de este taller, nosotr@s nos enfocamos en los fractales que aparecen en los árboles: sus ramas se dividen por fractales, desde el tronco hasta la copa se mantiene esta característica.

La Secuencia de Fibonacci

En matemáticas, la sucesión o serie de Fibonacci hace referencia a la secuencia ordenada de números Empezamos sumando 0 y 1, y para cada suma siguiente usamos el segundo sumando y el resultado de la suma anterior (los mostraremos subrayados). Pero mejor veamos, en la práctica se entiende mejor:

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

8 + 13 = 21

13 + 21 = 34... y así sucesivamente.

Cuando representamos estos números en forma geométrica, tenemos como resultado un espiral que aparece en varias formas naturales vivas, o ramificaciones que aprovechan mejor el espacio y facilitan al máximo todos los procesos orgánicos en que estas estructuras están involucradas.

Esta serie se hizo especialmente famosa por describir las proporciones naturales, supuestamente, de todas las cosas en el universo. Lo cierto es que hoy en día la aparición de esta serie ocurre de forma muy amplia y extensa en campos como las matemáticas, ciencias de la computación, biología o teoría de juegos.

El Fractal de Fibonacci

También conocido como el Racimo de Grossman por su “autor”, George W. Grossman, quien dio una descripción del mismo en Fractal Construction by Orthogonal Projection using the Fibonacci Sequence (pdf) en 1997.

Partimos de un triángulo rectángulo isósceles. Trazamos la altura desde el ángulo recto, dividiendo así el triángulo inicial en dos triángulos rectángulos iguales. En uno de ellos hacemos lo mismo, dividirlo en dos más pequeños, y borrar uno de ellos. De entre los triángulos que han quedado sin borrar elegimos el de mayor área y lo coloreamos de verde. Repetimos el proceso con este triángulo verde. Trazamos la altura desde el ángulo recto y en una de las dos mitades volvemos a trazar la altura desde el ángulo recto y borramos una de las dos partes creadas

Fractal fibonacci1.jpg

Taller de Arboles Fractales

Resumen

Este taller consiste en lograr que el alumno entienda que existen algoritmos matemáticos que pueden verse en la naturaleza que los rodea, que el alumno entienda a partir de la experimentación y la práctica sensorial con modelos didácticos algunos de los algoritmos matemáticos que rigen la naturaleza, su entorno, tales como los fractales y la secuencia de Fibonacci.

Se trabajará en un espacio abierto y en grupos donde se les dará un objetivo general y las herramientas para llegar a él, y a partir de la colaboración y la experimentación logren llegar a tal objetivo. Para esto las herramientas serán dispuesta por los monitores del taller, tales herramientas son los kits de árboles fractales, que serán armados a la creatividad del alumno.


Se piensa el material didáctico como "kits" entregables para cada alumno, no así piezas sueltas que podrían generar conflictos. Finalmente se fabrican dos materiales didacticos: kit cartón craft y kit MDF.

Prototipos

  • Primer acercamiento a la forma

Se fabrica en cartón piedra y a mano. Se definen dos tipos de pieza: uniones y ramas. Las uniones se proponen en dos ángulos distintos, las ramas en cuatro tamaños.

  • Prueba de pieza 3d

Se realiza una prueba con palos de brocheta y uniones 3d. Éstas dan la posibilidad de construir en 3d (se pueden rotar las uniones y el árbol crecerá en profundidad). El problema es el tiempo de fabricación.

  • Primera prueba de corte láser para arboles Fractales

Se realiza una versión con piezas más delgadas y definidas en cartón piedra y con corte láser. El problema es que el cartón piedra, alquemarse con el corte láser, genera una capa negra que mancha las manos y el mismo material.

  • Segunda prueba de corte láser para arboles Fractales

Se realiza la misma prueba anterior, pero en otro material: MDF. EL modelo queda mucho más limpio y atractivo. Se debe corregir las uniones que quedan muy apretadas.

Versión Cartón Craft

Se fabrica una versión en cartón, con piezas anchas y fáciles de ensamblar, ideales para alumn@s de primer ciclo. Son de rápida fabricación y bajo costo. Los resultados pueden resultar muy variados. La pieza de unión da la posibilidad de armar con más o menos ramas y en distinto modo.

  • Archivo Final

Fractales pack tamaño doble -mdf- v.2019.png

  • Piezas Definidas KIT: uniones y ramas:

20190927 123458.jpg

  • Proceso de Armado

Versionarbolcarton.jpg Versionarbolcarton1.jpg Versionarbolcarton2.jpg Versionarbolcarton3.jpg.jpg Versionarbolcarton4.jpg Versionarbolcarton5.jpg Versionarbolcarton6.jpg Versionarbolcarton7.jpg Versionarbolcarton9.jpg

  • Ejemplos Piezas Conectadas:

Versionarbolcartom (2).jpg Versionarbolcartom (3).jpg

Versión MDF

El segundo material didáctico es fabricado en MDF, sus piezas son más delgadas y un poco más duras de ensamblar. Sus piezas de "unión" dan la posibilidad de construir un árbol en tres dimensiones, es decir no sólo crece hacia arriba y hacia los lados, sino que también en profundidad (dependiendo de cómo se ensamblen sus piezas).

  • Archivo Final

Fractales pack tamaño doble -mdf- v.2019.png

  • Piezas Definidas KIT Uniones y Ramas:

Versionarbolmdf10.jpg

Versionarbolmdf14.jpg ModeloDEFMDF.jpg ModeloDEFMDF1.jpg

  • Proceso de Armado:

Versionarbolmdf11.jpg Versionarbolmdf12.jpg Versionarbolmdf13.jpg Versionarbolmdf15.jpg Versionarbolmdf17.jpg Versionarbolmdf18.jpg

  • Ejemplos Piezas Conectadas:

Segundaversionarbolin (1).jpg Segundaversionarbolin (2).jpg Tercerprotarbolf (5).jpg

Segundaversionarbolin (7).jpg Segundaversionarbolin (8).jpg Tercerprotarbolf (6).jpg

Otros Apoyos Visuales

Arbol fibionachi pdf -impresión- v.2019.png



Resumen

Este taller consiste en lograr que el alumno entienda que existen algoritmos matemáticos presentes en la naturaleza que los rodea; que entienda a partir de la experimentación y la práctica sensorial con modelos didácticos algunos de los algoritmos matemáticos que rigen la naturaleza,por ende su entorno, tales como los fractales y la secuencia de Fibonacci.

Se trabajará en un espacio abierto y en grupos donde se les dará un objetivo general y las herramientas para llegar a él, y a partir de la colaboración y la experimentación logren llegar a tal objetivo: construir un árbol un árbol fractal. Para esto las herramientas serán dispuesta por los monitores del taller, tales herramientas son los kits de árboles fractales, que serán armados a la creatividad del alumno.

Se comienza por el taller de “Árboles fractalescartón craft”. Participantes se distribuyen en grupos, alrededor de mesa(s). Se realiza una introducción general para todos los grupos, mientras que en cada mesa se muestran imágenes ejemplo (desde computadores). Luego se distribuyen kits [F1]2 . L@s monitor@s observan y ayudan a que participantes sigan las indicaciones y logren entender la finalidad del taller, se responden preguntas y aclaran ideas con respecto al armado del kit.

Para la segunda modalidad, taller “Arboles fractales MDF”, se reparten los kits [F2]3 se siguen las mismas indicaciones anteriores, pero los participantes se reúnen en parejas para trabajar de forma grupal. Se trabaja con el desafío armar siguiendo el patrón de la serie Fibonacci, y logrando modelo final en 3D. Finalmente se comparan los resultados y se repasan los contenidos.

Objetivos

Impacto en el participante

  1. Percibir que la matemática forma parte del trabajo cotidiano comprendiendo la naturaleza del pensamiento matemático, manejando y pudiendo comunicar las ideas y los procedimientos básicos de esta ciencia.
  2. Valorar un espacio de investigación y el trabajo cooperativo en grupo para lograr objetivos en común.
  3. Tener curiosidad , apertura y duda como base del conocimiento científico.
  4. Valorar la matemática como construcción humana
  5. Entender la organización de la botánica del árbol.
  6. Poder reconocer los patrones fractales de la naturaleza

Objetivos

  1. Presentar / enseñar al niño la matemática fractal, a través de la experimentación y el juego; tanto individual como en grupo.
  2. Que logre identificar en su vida cotidiana figuras, matemáticas y formas en la naturaleza.
  3. Demostrar a través de los fractales y fibonacci que la matemática se encuentra en la naturaleza
  4. Que entienda que existen secuencias y patrones que se repiten en la naturaleza y que pueden ser identificados; como la serie Fibonacci.

Cronograma

  • Duración: 1 a 2 Horas
  • Cantidad de participantes: de 3 a 8 personas por grupo
  • Rango de edad: 7 a 16 años
  • Material didáctico: Árboles fractales MDF; Árboles Fractales cartón artesanal. [Material F-1 y F-2]
  • Herramientas Físicas: Material audiovisual, monitor, computadores.
  • Herramientas Audiovisuales: Explicación de fractales en la naturaleza, verbal y audiovisual.

El taller árboles fractales se divide en dos fases identificadas de la edad del participante Árboles fractales cartón craft [personas desde 7 a 11 años] Árboles fractales MDF [personas desde 12 a 16 años] Taller árbol fractal cartón craft 2D - trabajo individual. Construcción libre

  • 10 minutos: Introducción a los fractales
  • 15 minutos: Explicación Actividad. Se mostrarán ejemplos y se entregarán kits personales
  • 15 minutos: Armado
  • 5 minutos: Conclusiones y comparaciones de los resultados

Taller árbol fractal MDF - 3D: desafío grupal . Construcción de árbol fractal con secuencia Fibonacci

  • 10 minutos: introducción de la secuencia de fibonacci y ejemplos
  • 5 minutos: Explicación Actividad. Se mostrarán ejemplos y se entregarán kits grupales
  • 15 minutos: Armado
  • 10 minutos: Conclusiones y comparaciones.
  • 10 minutos: Reflexión final


Validación Taller

  • Resultados primera prueba del prototipo de cartón craft con alumnos de la Ead
  • Resultados primera prueba del prototipo de MDF con alumnos de la Ead

Taller del Código a la Realidad

Taller de realización en el momento, el material didáctico no se encuentra previamente fabricado sino se realiza en el mismo taller. Consta de un archivo trabajado en processing, luego en illustrator y finalmente en artcam. Luego este archivo es cortado en la Router CNC en terciado estructural de 12mm (el cual se lleva ya cortado en cuadrados de 35cmx35cm).

Resumen

El taller busca lograr que el/la participante entienda, a partir de la experimentación y la práctica sensorial con modelos didácticos, algunos de los logaritmos matemáticos que rigen la naturaleza, tales como los fractales y la secuencia de Fibonacci. Bajo esta materia se disponen grupos de trabajo, quienes mediante el trabajo con el software “Processing”4 llegarán a un fractal, generado por la repetición de una unidad discreta dibujada y reiterada por código. Luego esta “imagen digital” se llevará a la realidad mediante el uso de la fabricación digital (Router CNC); experimentando así el paso del bits al atoms, es decir “del código a la realidad”.

Processing

Processing es un lenguaje de programación y entorno de desarrollo integrado de código abierto basado en Java, de fácil utilización, y que sirve como medio para la enseñanza y producción de proyectos multimedia e interactivos de diseño digital. Uno de los objetivos declarados de Processing es el de actuar como herramienta para que artistas, diseñadores visuales y miembros de otras comunidades ajenos al lenguaje de la programación, aprendieran las bases de la misma a través de una muestra gráfica instantánea y visual de la información.

L-System

En 1968 por el biólogo y botánico teórico húngaro Aristid Lindenmayer introdujo el L system un sistema de gramática formal que modela la morfología del crecimiento de las plantas y de una variedad de organismos.

Los sistemas L paramétricos son definidos como un conjunto G = {V, S, ω, P}, donde V (el alfabeto) es un conjunto de símbolos que contiene elementos que pueden ser reemplazados (variables) S es un conjunto de símbolos que contiene elementos que se mantiene fijos (constantes) ω es una cadena de símbolos de V que definen el estado inicial del sistema (inicio o axioma) P es un conjunto de reglas o producciones que definen la forma en la que las variables pueden ser reemplazadas por combinaciones de constantes y otras variables. Una producción está formada por dos cadenas — el predecesor y el sucesor. Las reglas gramaticales de los sistemas-L se aplican iterativamente a partir de un estado inicial.

numero de generaciones
ejemplo de variables

Parámetros código

  • Parámetro para modificar cada rama del árbol

String default_rule = FF[+F]F[-F] <<<< Fórmula figura de árbol

  • cada F significa una línea
  • cada [] abre y cierra un nudo
  • cada + tuerce la línea en sentido del reloj y cada - la línea va anti horaria

EFES1.jpg EFES2.jpg EFES3.jpg EFES4.jpg

  • Parámetro para modificar el número de iteraciones de cada rama

Cada rama definida en la formula se repetirá el numero de veces indicada en el código de abajo

int default_iterations = 2 <<<< Número de iteraciones

GENERAXI1.jpg GENERAXI2.jpg GENERAXI3.jpg GENERAXI4.jpg

  • Parámetro para modificar el ángulo de cada rama

El ángulo indica el número de grados con el que se genera una nueva rama del árbol.

float default_angle = PI / 10 <<<<Angulo definido por 360° divididos entre 10

rigth

Código Processing para árbol fractal

Se comienza a trabajar en Processing desde un código al cual se le modifican las variables: ángulo, número de iteraciones, extensión, caos.

VER CODIGO


keimport processing.pdf.*;


 String default_rule = "FF[+F]F[-F]";
 int	default_iterations = 6;
 float  default_angle = PI / 10;
 float  default_angle_chaos = 0;
 float  default_extension = 10;
 float  default_extension_chaos = 0;
 int 	default_y_offset = 400;
 boolean default_draw_tips = true;
 String  default_filename = "iterations-7.pdf";
 LSystem system;
 class LSystem
 {
   String axiom,
      	string;
   String [] rules;
   String rule;
   float [] state;
   float [][] state_stack;
   int stack_size = 0;
   int pos = 0;
   color col;
   float angle = default_angle;
   float angle_chaos = default_angle_chaos;
   float extension = default_extension;
   float extension_chaos = default_extension_chaos;
   LSystem ()
   {
	axiom = "F";
	string = "F";
	state = new float[3];
	state[0] = 0;
	state[1] = 0;
	state[2] = 0;
	col = color(0, 0, 0);
	rule = default_rule;
	state_stack = new float[4096][3];
  }
  void iterate ()
  {
	this.iterate(1);
  }
  void iterate (int count)
  {
	for (int i = 0; i < count; i++)
	{
  	String string_next = "";
  	
  	for (int j = 0; j < string.length(); j++)
  	{
    	char c = string.charAt(j);
    	if (c == 'F')
    	{
      	string_next = string_next + rule;
    	} else {
      	string_next = string_next + c;
    	}
  	}
  	string = string_next;
	}
  }
  void draw()
  {
  	beginRecord(PDF, default_filename);
  	translate(100, default_y_offset);
  	rotate(1.5 * PI);
  	strokeWeight(0.5);
  	for (int i = 0; i < string.length(); i++)
  	{
    	this.drawSegment();
  	}
  	endRecord();
  }
  void drawSegment ()
  {
	if (pos >= string.length())
   	{ return; }
	char c = string.charAt(pos);
	switch (c)
	{
      	case 'F':
        	float ext_this = extension + random(-1.0 * extension * extension_chaos, extension * extension_chaos);
        	float x_delta = ext_this * sin(state[2]);
        	float y_delta = ext_this * cos(state[2]);
        	stroke(col);
        	strokeWeight(0.5);
        	// stroke(random(255), random(255), random(255), 230);
        	line(state[0], state[1], state[0] + x_delta, state[1] + y_delta);
        	state[0] += x_delta;
        	state[1] += y_delta;
        	
        	if (default_draw_tips)
        	{
            	strokeWeight(0.5);
            	line(state[0], state[1], state[0] + 0.1, state[1] + 0.1);
        	}
        	break;
      	case '-':
        	state[2] -= (angle + random(-1 * angle * angle_chaos, angle * angle_chaos));
        	break;
      	case '+':
        	state[2] += (angle + random(-1 * angle * angle_chaos, angle * angle_chaos));
        	break;
      	case '[':
        	arraycopy(state, state_stack[stack_size++]);
        	break;
      	case ']':
        	arraycopy(state_stack[--stack_size], state);
        	break;
	}	
	pos++;
  }
 }
 void setup ()
 {
  int iterations = default_iterations;
  size(1300, 900);
  background(250);
  frameRate(50);
  smooth();
  system = new LSystem();
  system.iterate(iterations);
  system.draw();
 }
 void _draw ()
 {
  // To draw segment by segment, rename this routine to draw()
  // and remove system.draw() from setup().
  translate(100, default_y_offset);
  rotate(1.5 * PI);
  system.draw();
  for (int i = 0; i < random(10, 50); i++)
  {
	system.drawSegment();
  }
 }
 import processing.pdf.*;
 String default_rule = "F[-F][+F] ";
 int  default_iterations = 1;
 float  default_angle = PI / 12;
 float  default_angle_chaos = 0;
 float  default_extension = 50;
 float  default_extension_chaos = 0;
 int   default_y_offset = 400;
 boolean default_draw_tips = true;
 String  default_filename = "iterations-7.pdf";
 LSystem system;
 class LSystem
 {

Ejemplo Processing

Ejemplo Archivo

  • Ejemplo archivo exportado de processing / Ejemplo archivo ya trabajado en Illustrator para corte en Router CNC

Iteration CÉSAR.pngConsu pruebaiteratins.png

Resumen

El taller busca lograr que el/la participante entienda, a partir de la experimentación y la práctica sensorial con modelos didácticos, algunos de los logaritmos matemáticos que rigen la naturaleza, tales como los fractales y la secuencia de Fibonacci. Bajo esta materia se disponen grupos de trabajo, quienes mediante el trabajo con el software “Processing” llegarán al dibujo de un fractal, generado por la repetición de una unidad discreta dibujada y reiterada por código. Luego esta “imagen digital” se llevará a la realidad mediante el uso de la fabricación digital (Router CNC); experimentando así el paso del bits al atoms, es decir “del código a la realidad”.

Como segunda instancia, en los mismos grupos se trabajará hacia un objetivo general: fabricar un árbol fractal, a partir de la colaboración y la experimentación. Para esto las herramientas serán dispuesta por los monitores del taller. Estas son los kits de árboles fractales, que serán armados a la creatividad y con la materia recopilada en el taller.

Objetivos

  1. Presentar/enseñar al niño la matemática fractal, a través de la experimentación y el juego.
  2. Que logre identificar en su vida cotidiana figuras, matemáticas y formas en la naturaleza.
  3. Demostrar a través de los fractales y Fibonacci que la matemática se encuentra en la naturaleza.
  4. Que entienda que existen secuencias y patrones que se repiten en la naturaleza y que pueden ser identificados; como la serie Fibonacci.

Impacto en el Participante

  1. Percibir que la matemática forma parte del trabajo cotidiano comprendiendo la naturaleza del pensamiento matemático, manejando y pudiendo comunicar las ideas y los procedimientos básicos de esta ciencia.
  2. Valorar un espacio de investigación y el trabajo cooperativo en grupo para lograr objetivos en común.
  3. Tener curiosidad, apertura y duda como base del conocimiento científico, valorando la matemática como construcción humana
  4. Introducirlo a lo que es la fabricación digital y que reconozca programas con los cuales se trabaja.
  5. Que comprenda el traspaso de información entre diversos medios y formatos. Así como del bits al atoms.

Cronograma

  • Duración: 1 a 2 Horas
  • Cantidad de participantes: de 3 a 4 personas por grupo (cada grupo con un monitor)
  • Rango de edad: 14 a 18 años
  • Material didáctico: Código processing; árboles fracta- les MDF. [Material F-2]
  • Herramientas Físicas: Material audiovisual, monitor, computadores, papelçografo Fibonacci.
  • Herramientas Metodológicas: Explicación de fractales en la naturaleza, verbal y audiovisual; y del paso de lo virtual a lo concreto.


Fractal en processing, trabajo en equipo.

Dibujo en Software (45 minutos)

  • 10 minutos: Introducción a los fractales
  • 5 minutos: Explicación Actividad. Se mostrarán ejemplos audiovisuales.
  • 20 minutos: Dibujo del fractal a partir del código en processing.
  • 10 minutos: Configuración para “routeado”.
  • 20 minutos: Explicación y muestra funcionamiento he- rramientas de fabricación (Router CNC).
  • 10 minutos: Comparación resultados y conclusiones.


Validación Talleres

  1. Arboles Fractales: Primera salida, 24 de abril, Peñuelas [[1]]
  2. Código a la realidad: Segunda salida, 3 de mayo, Chanco [[2]]

Publicación

Arboles Fractales: https://www.instructables.com/id/Arboles-Fractales/
Código a la Realidad: https://www.instructables.com/id/Taller-C%C3%B3digo-a-La-Realidad/