Estructura 3 1S2020: Clase 2 Asismicidad

Asignatura	Estuctura 3
Del Curso	Estructura 3 - Primer Semestre 2020
Nº	A2
Fecha	2020/03/30

Analogía entre un movimiento sísmico y un movimiento aplicado a la base de un PIS

Movimiento a la base de un PIS

Si comienzo a mover la base de un PIS con un movimiento oscilatorio de periodo $T_{o}$, se observará que a su vez el péndulo comienza a vibrar conforme a su periodo propio $T$. Con esto ocurrirá que en cada instante de la vibración se tendrá un desplazamiento relativo entre el centro de gravedad de la masa del péndulo y la posición del empotramiento. Así comenzarán a alternarse aleatoriamente momentos en que dichos desplazamientos relativos serán mayores o serán menores.

Fig.2a

Fuerzas de inercia inducidas por el movimiento de la base de un PIS

Podemos decir que en cada uno de esos instantes actúa en el centro de gravedad de la masa del péndulo, una fuerza de inercia, que es equivalente a la fuerza que habría que aplicarle al centro de gravedad de la masa , estando el péndulo Fijo, para que esta se desplazara en dicha cantidad.

Fig.2b

Factor de proporcionalidad

La rigidez del péndulo actúa como el factor de proporcionalidad entre la fuerza y la deformación. Esto quiere decir que la fuerza de inercia que actúa en cada instante en la masa del péndulo es igual a la rigidez de dicho péndulo multiplicado por el desplazamiento relativo generado por el movimiento en cada instante. O lo que es lo mismo, que las fuerzas de inercia inducidas por el movimiento de la base ,son proporcionales a la rigidez del PIS.

Insertar formula que aparece en figura 8

Equivalencia entre desplazamientos relativos y fuerzas de inercia inducidas

En síntesis, si se mueve la base de un péndulo se induce en la masa de él, una fuerza de inercia que hace que él comience a oscilar (son dos vibraciones distintas, una con periodo $T_{o}$ y la otra con periodo $T$). Esto genera desplazamientos relativos entre la masa del péndulo y la posición de su empotramiento. Las fuerzas inducidas son equivalente a la fuerza necesaria para generar dicho desplazamiento, estando el péndulo fijo y su base sin moverse.

Fig.2c

Acoplamiento de periodos y resonancia

Como en los diferentes instantes se producen desplazamientos relativos diferentes es lógico pensar que existirán instantes en que dichos desplazamientos serán máximos y que por ende las fuerzas también serán máximas. Lo que nos interesan son las fuerzas máximas que se producen. En el grafico que se muestra en la figura 9 se enfrentan los periodos propios de todos los péndulos que se pueden proyectar (En el eje X), con las fuerzas máximas que se generan en las masas de los distintos péndulos que enfrentan la doble vibración (la de la base y la del periodo propio).

Efectos dinámicos y efectos estáticos

Lo que ocurre en la realidad es que las fuerzas que actúan en un terremoto sobre un edificio para destruirlo ,son caóticas y cambiantes, y sobre todo tienen un comportamiento dinámico, que hace muy difícil tener en cuenta en forma simple una exactitud confiable como es la de suponer que una carga actúa sobre una estructura para solicitarla y esta se esfuerza y resiste o bien colapsa. Sin embargo se produce algo interesante ,La Fig.2d muestra que las fuerzas de inercia tienden a agrandarse en la medida que los periodos propios de los péndulos tienden a parecerse al periodo con el cual se mueve la base.

Fig.2d

Podemos afirmar que entre más se parecen los periodos propios de los péndulos que estamos testeando, y el periodo $T_{o}$ con el cual vibra el suelo, mayores serán los desplazamientos que se generen ,y mayores las fuerzas de inercia inducidas. A la vez que mientras más se distancien dichos periodos entre sí, menores serán los desplazamientos y menores las fuerzas de inercia inducidas.

Efectos de la resonancia

Si el periodo propio del péndulo $T$, y el periodo $T_{o}$ de la base se acercan mucho, las amplitudes del movimiento tenderán a hacerse mayores y teóricamente si coinciden estrictamente las amplitudes se harían infinitas por efecto de la resonancia, y consecuentemente con ello también las fuerzas de inercia generadas serían infinitas. Obviamente esto no ocurre nunca porque, ni los desplazamientos ni las fuerzas pueden llegar a ser infinitas porque antes se producirán fallos o colapsos en el péndulo que al cambiar el periodo propio del péndulo desacoplarían ambos periodos.

Interpretación de los efectos de la resonancia

Si esto lo llevamos a interpretar el movimiento de la base del péndulo con el movimiento que provoca un sismo en la base de un edificio, tendríamos que observar que las fuerzas infinitas y los desplazamientos infinitos, que teoriza la resonancia, nunca se producen porque en primer lugar el movimiento que imprime un sismo a la base de un edificio no es regular sino que irregular, en segundo lugar porque no tienen una duración tan larga como se necesitaría para ir produciendo elongaciones cada vez mayores para llegar al infinito y en tercer lugar porque el material no tiene una elasticidad infinita sino que en una primera fase de esfuerzo él es elástico (donde la fuerza es proporcional a la deformación) y luego se vuelve plástico (donde la deformación no corresponde a un aumento proporcional de la fuerza sino a un aumento muchísimo menor) Y con ello las fuerzas de inercia disminuyen y los periodos se alteran y se desacoplan. Pero si cabe señalar que aunque fuerzas y desplazamientos no lleguen nunca a ser infinitos la tendencia a la resonancia puede causar, y ha causado, grandes daños a algunas estructuras.

Fig.2e

Variación de las aceleraciones y las velocidades en la vibración de un PIS

Para poder tratar con este complejo comportamiento recurriremos a la vibración de un PIS. Si sacamos la masa de un péndulo de su posición de equilibrio y la desplazamos hasta tener una cierta amplitud a y luego la soltamos, como ya dijimos el péndulo comienza a vibrar. Detengámonos en el primer ciclo y estudiemos en él como varían la velocidad y la aceleración en cada instante de la vibración. Para ello definamos tres posiciones críticas de este primer ciclo. En el tenemos la posición “a” ,la posición neutra “ 0” y la posición “–a”.

El primer ciclo parte desde la posición “a” en el extremo derecho , se desplaza hasta la posición neutra que llamaremos “0”, luego llega hasta la posición “–a”, en el extremo izquierdo, luego vuelve a pasar por la posición “0”, y finalmente vuelve a llegar a la posición “a”.

En “a” la velocidad de la masa es cero porque esta detenida y la aceleración es máxima, cuando la masa se va moviendo desde “a” hasta “0” la velocidad va aumentando y la aceleración va disminuyendo. Cuando pasa por “0” la aceleración es cero y la velocidad es máxima.

Al llegar a “-a” la aceleración vuelve a ser máxima y la velocidad se hace cero. Al volver a pasar por “0”, la aceleración vuelve a ser cero y la velocidad vuelve a ser máxima. Para que al terminar el ciclo en “a”, la aceleración vuelva a ser máxima y la velocidad se haga cero.

Si nos fijamos en el trayecto y no en la posición, tendríamos que decir que:

• Entre las posiciones “a” y “0”, la aceleración disminuye y la velocidad aumenta.
• Entre “0” y “–a” la velocidad disminuye y la aceleración aumenta.
• Entre “-a” y “ 0”,la velocidad aumenta y la aceleración disminuye.
• Y finalmente entre “0” y “a” la velocidad disminuye y la aceleración aumenta.

Fig.2f

Espectro de aceleraciones en una vibración

Como se veía antes las fuerzas que actúan sobre la masa en cada instante de la vibración son cambiantes y dependen del desplazamiento relativo entre la posición de la masa y la posición del punto de empotramiento.

Evaluación de las fuerzas de inercia que se generan en un movimiento

El problema es ¿cómo ponemos en la práctica conocer el valor de las fuerzas de inercia que se inducen en la masa? El modo más efectivo de ver este tema es registrar las aceleraciones que se producen en cada instante, mientras dura el movimiento. Si nos colocamos en el ámbito de los movimientos sísmicos, ese registro se llama espectro de aceleraciones de un determinado sismo en una dirección determinada.

Estos espectros son registrados por un instrumental denominado sismógrafos, los cuales constituyen una red en todo el territorio nacional, que permite registrar los espectros de aceleraciones que genera un movimiento sísmico en los edificios en los distintos territorios. Las fuerzas de inercia que actúan sobre la masa inducidas por el movimiento de la base del péndulo , son iguales al producto de la masa del péndulo, por la aceleración que ella posee en cada instante de la vibración.

Como la masa es una constante que no varía con el movimiento, en verdad las fuerzas de inercia inducidas por un movimiento de la base son función directa de las aceleraciones.

Analogía de un PIS con un edificio

En el caso de los edificios, el movimiento sísmico que se produce en su base es bastante caótico, por lo tanto tenemos que registrar las componentes de un determinado sismo en cada una de las dos direcciones principales de la vibración y podremos hacer un gráfico que llamaremos el espectro del movimiento para esa dirección. En él, en el eje de las X registraremos todos los periodos propios de las estructuras y en el eje de las registraremos todas las aceleraciones que se producen. A este gráfico llamaremos el espectro del sismo en esa dirección.

Fig.2g

Definición de coeficiente sísmico

En verdad no se registran las aceleraciones mismas sino que se las registra en función de una aceleración que sirve como patrón, que es la aceleración de gravedad $g$. A ese valor se le denomina $C$ ,y se lo llama coeficiente sísmico y es igual a

• $C={\frac {a}{g}}$

Si observamos cuidadosamente el gráfico podemos constatar que el coeficiente sísmico, a medida que el periodo propio de la estructura se aproxima al periodo To, (con el cual vibra el suelo en el caso de un sismo, o con el cual se mueve la base en el caso de un péndulo), constatamos que a medida que dicho coeficiente se aleja del valor de To las aceleraciones que se producen son menores (ver gráfico fig. 11).

Efectos del amortiguamiento en las aceleraciones

Si consideramos el amortiguamiento del péndulo, la curva del espectro del mismo sismo baja a la posición b (ver gráfico fig. 11).Mientras mayor sea el amortiguamiento del péndulo, más abajo se ubicará la curva b. Y mientras mayor sea el amortiguamiento, menores resultarán las aceleraciones y menores las fuerzas de inercia inducidas.

En resumen la magnitud de las fuerzas que actúan en la masa del péndulo a cada instante dependerán de la intensidad del estímulo (ver clase de sismología),del periodo propio de la estructura y del grado de amortiguamiento de ella.Por lo tanto conociendo el periodo propio de un PIS, su grado de amortiguamiento y conociendo el espectro de aceleraciones que produce un movimiento de su base, podemos determinar la fuerza de inercia que actuaría sobre la masa y que trataría de romper la varilla del péndulo.

Si lo trasladamos al caso de un edificio y un sismo, podemos decir que si conocemos el periodo propio del edificio, su amortiguamiento crítico , su grado de amortiguamiento y el espectro de aceleraciones que provocaría un sismo teórico en una determinada región, podemos prefigurarnos la fuerza teórica que actuaría sobre el edificio y su masa, para tratar de romperlo. Y diseñar entonces un edificio que sea capaz de resistir dicha solicitación.

Realidad estructural de un PIS

A costa de ser un poco reduccionista podríamos decir que un edificio de un piso que posee una losa de concreto (o diafragma rígido) a una cierta altura h desde el suelo, y que posee una techumbre sobre dicha losa y unos elementos verticales (pilares ,muros o machones),que llevan hasta el suelo el peso de la losa y la techumbre, podríamos asociarlo a un péndulo invertido en que la masa de la losa y la techumbre están sobre una varilla virtual, que está constituida por el conjunto de los elementos verticales que la sostienen.

Las fuerza de inercia que inducirá un sismo en la masa de un edificio tienen que ser resistidas por el conjunto de los elementos verticales de edificio, tal como la varilla tiene que ser capaz de resistir los esfuerzos a que está sometida a causa de las fuerzas de inercia que actúan sobre la masa que ella misma está sosteniendo, en un PIS. De tal manera que podremos encontrar en ese edificio, todos los factores que caracterizan el movimiento y las fuerzas de inercia que se generan en un PIS. Así el edificio tendrá también un periodo propio, una frecuencia natural ,una rigidez, un amortiguamiento crítico y un grado de amortiguamiento. Y podremos más adelante estudiar los esfuerzos que tales fuerzas de inercia producen en la estructura.

Fig.2h

Complejidades para la interpretación de edificios que tienen otros tipos de arquitectura

Tal como en un edificio de un piso lo podemos interpretar como la abstracción de un PIS, en la arquitectura tenemos una variación enorme de tipologías de edificios por ende siempre la interpretación de un edificio como péndulo invertido corresponderá a una interpretación abierta que el especialista deberá asumir para estudiar los distintos tipos de edificios y los distintos tipos de interpretaciones que será necesario hacer para entender su comportamiento estructural.

Por ejemplo analicemos un edificio de dos pisos como el que se muestra en el esquema 7. Intuitivamente y en forma muy simple podemos decir que lo asimilaremos a un péndulo invertido de dos masas. Analicemos entonces cómo se comporta un péndulo invertido, ya no simple, sino de varias masas.

Péndulo invertido de varias masas

En la figura 12, se muestra un péndulo invertido de varias masas. En este caso de 2 masas. Como se observa en la figura este modelo tiene dos masas que llamaremos M1 y M2 y dos varillas a las cuales llamaremos V1 y V2.

Fig.2i

En la interpretación del edificio para este modelo, estamos asumiendo que según se muestra en el esquema 7, la masa M1 equivaldría al peso de la losa del primer piso, más el peso de todos los elementos verticales que se ubican desde la mitad del primer piso hasta la mitad del segundo piso. Y la masa M2 equivaldría al peso de la losa del segundo piso más el peso de todos los elementos verticales desde la mitad del segundo piso hasta la losa, más el peso de toda la techumbre que descansa sobre ella.Todo según se indica en el esquema 7.

La varilla V1 será la equivalente a todos los elementos verticales del primer piso (pilares, machones o muros) y la varilla V2 será la equivalente a todos los elementos verticales del segundo piso (pilares ,machones o muros).

Fig.2j

La rigidez y el periodo, en un péndulo de varias masas

Lo importante es comprender que en un péndulo de $n$ masas no tenemos una sola rigidez, un solo modo de vibrar y por consiguiente un solo periodo. En primer lugar definiremos lo siguiente:

En un péndulo de $n$ masas, tenemos $n$ modos de vibrar, $n$ periodos correspondientes y $n^{2}$ rigideces. Luego en este caso de $n=2$ ,que estamos estudiando podemos decir que este péndulo tendrá dos modos de vibrar, dos periodos propios y cuatro rigideces .Ellos serían los siguientes:

• Los modos de vibrar: El modo Fundamental y la Segunda armónica.
• Los periodos propios: El período del modo fundamental y el periodo de la segunda armónica.
• Las rigideces: cuatro rigideces que serán: $K_{1_{1}},\ K_{1_{2}},\ K_{2_{1}},\ y\ K_{2_{2}}$.

Definición de las cuatro rigideces de un péndulo invertido de dos masas

• La rigidez $K_{1_{1}}$ es la fuerza que hay que aplicarle a la masa M1 manteniendo M2 fija para que M1

se desplace la unidad de longitud, respecto del eje neutro.

• La rigidez $K_{1_{2}}$ es la fuerza que hay que aplicarle a la masa M2 para que ella no se desplace cuando M1 se ha desplazado la unidad de longitud.

• La rigidez $K_{2_{1}}$ es la fuerza que hay que aplicarle a la M1 para que ella no se desplace cuando la masa M2 se ha desplazado la unidad de longitud.

La rigidez $K_{2_{2}}$ es la fuerza que hay que aplicarle a la masa M2 para que ásta se desplace en la unidad de longitud, estando M1 fija. (ver esquema 8)

Fig.2k

Como vemos el problema se complica un poco respecto al péndulo invertido simple, pero mediante un cálculo matricial se puede acceder a un análisis más fácil.

Descripción de los modos de vibrar en un péndulo de dos masas

Este péndulo tiene como se decía dos modos puros de vibrar que son : El modo fundamental, y la segunda armónica.

Modo Fundamental de vibrar en un péndulo de 2 masas

Si sacamos de su posición de equilibrio a la masa M2 en una cantidad arbitraria ($a_{2}$), y dejamos que M1 se desplace hasta una cantidad ($a_{1}$) enteramente dependiente de($a_{2}$), al soltarlas y hacer oscilar el péndulo veremos que ambas masas oscilan al unísono, es decir pasan por las tres posiciones claves al unísono: llegan el extremo izquierdo, a la posición de equilibrio y al extremo derecho simultáneamente ambas masas. Ese es el modo fundamental y su periodo será el periodo fundamental $T_{1}$ (Ver figuras 13 y 14)

Modo de vibrar en segunda armónica de un péndulo de 2 masas

Si sacamos de su posición de equilibrio a la masa M2 en la cantidad arbitraria ($a_{2}$) hacia la derecha y a la vez sacamos a la masa M1 hacia la izquierda, en una cantidad totalmente dependiente de $a_{2}$, y soltamos, veremos que al vibrar M1 llega al extremo izquierdo al mismo momento que M2 llega al extremo derecho, y ambas pasan simultáneamente por la posición de equilibrio.(Ver figura 15).

El péndulo está vibrando en segunda armónica y el periodo de esta vibración será diferente al periodo del modo fundamental, y se llamará periodo $T_{2}$ de la segunda armónica. Ambos serán los modos puros de vibrar de un péndulo de dos masas. Aparte de estos dos modos puros de vibrar, un péndulo como este puede vibrar con múltiples modos combinados cuya característica es que ambas masas nunca vibraran al unísono. Por ahora dejaremos de lado tales modos combinados.

Fig.2l

El amortiguamiento en los péndulos de varias masas

Para un péndulo de varias masas también existirá un amortiguamiento el cual se expresara como % del amortiguamiento crítico. Es así que para un péndulo de $n$ masas será necesario definir $n^{2}$ grados de amortiguamiento asociando cada uno de ellos a cada una de las rigideces antes definidas.

Conclusiones generales para los péndulos de varias masas

En general un péndulo múltiple de $n$ masas que representa un edificio de $n$ pisos, tiene $n$ modos puros de vibrar, cada una de ellas con periodos distintos. Tendrán $n^{2}$ rigideces,$n^{2}$ amortiguamientos y $n-1$ formas nodales (esquemas representativos de cada uno de los modos puros de vibrar).

Como se verá todo lo anterior nos pone frente a un tema extraordinariamente complejo que ciertamente se sale del campo de intereses de este texto. Esto se lo menciona para concluir que los especialistas podrán aplicar sus programas de cálculo y depurar sus resultados conforme a la experiencia. Pero que los resultados serán siempre probabilísticos y de certezas meramente probables. Esto conduce a lo que se denomina un cálculo dinámico de fuerzas y esfuerzos.

Nuestros interese de estudiantes de arquitectura requieren de la comprensión de dicha complejidad pero no forma parte de su oficio la obtención de los resultados definitivos que configurarán la estructura. Eso les corresponde a los especialistas. A nosotros nos corresponde acercarnos a dicha realidad mediante un cálculo estático simplificado que obtendrá resultados muy similares, pero que no tendrá en cuenta las variaciones finas que en proyectos de gran envergadura resultan indispensables.

El cálculo estático simplificado nos permitirá llegar a una buena aproximación a lo que serán los resultados definitivos, de manera de poder entregar al ingeniero especialista planos muy aproximados a lo que serán los planos definitivos, y sobre todo nos permitirá comprender bien el real funcionamiento estructural del edificio concebido, aunque no seamos capaces, porque no nos corresponde, calcular la resistencia requerida.